Единственность нормального вида над C

**Ранг формы** - ранг её матрицы. Обозначение: $r(f)$, где $f$ - форма

Если $f$ и $g$ эквивалентны, то $r(f) = r(g)$

Пусть $B$ - матрица $f$, $C$ - матрица $g$, $T$ - матрица замены из $f$ в $g$. Тогда из определения эквивалентности и по теореме о матрице при замене: $$C = T^{T}BT \underbrace{ \implies }_{ * } r(C) = r(B) \implies r(f) = r(g)$$ $*$ - умножение на обратимую матрицу не меняет ранга матрицы. $\square$

Пусть $f$ и $g$ - две квадратичные формы над $\mathbb{C}$. Тогда $f$ и $g$ эквивалентны $\iff$ $r(f) = r(g)$ Иными словами, квадратичная форма над $\mathbb{C}$ при фиксированном ранге определена однозначно с точностью до замены индексов переменных.

$\Large\implies$ Доказано в утверждении выше $\Large\impliedby$ Пусть $k = r(f) = r(g)$. Приведём $f$ и $g$ к нормальному виду: $$f \sim a_{1}y_{1}^{2} + a_{2}y_{2}^{2} + \dots + a_{k}y_{k}^{2} = (\sqrt{a_{1}}y_{1})^{2} + \dots + (\sqrt{a_{k}}y_{k})^{2} = {y_{1}'}^{2} + \dots + {y_{2}'}^{k}$$ $$g \sim b_{1}z_{1}^{2} + b_{2}z_{2}^{2} + \dots + b_{k}z_{k}^{2} = (\sqrt{b_{1}}z_{1})^{2} + \dots + (\sqrt{b_{k}}z_{k})^{2} = {z_{1}'}^{2} + \dots + {z_{2}'}^{k}$$ А значит $f$ и $g$ - эквивалентны (осталось только заменить $y_i = z_i$).